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bdfh [1232233] · MS 2023 · 쪽지

2025-02-06 20:05:08
조회수 743

수2 문제 (2000덕)

게시글 주소: https://video.orbi.kr/00071825955

첫 풀이 2000덕 드리겠습니다!


(+자작 아닙니당)

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bdfh [1232233]

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  • 탁극탁 · 1322566 · 02/06 20:06 · MS 2024

    궁금한 게 자작 아니면 먼가요

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  • WARMHEART · 1352734 · 02/06 20:08 · MS 2024

    대학교재에 있는 거 아닐까요

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  • bdfh · 1232233 · 02/06 20:09 · MS 2023

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  • paracompact · 1069866 · 02/07 00:09 · MS 2021

    Idea: f는 너무 빨리 증가한다. 즉, a_n이 수렴하고 f(a_n)이 발산하는 수열 a_n이 존재한다.

    f’ > 0이므로 f는 증가하고, f가 증가하므로 f’도 증가한다. f’(0) = a라 할 때, x>0에서 f’(x) > a이므로 f(x) > ax이고, 따라서 f’(x) = f(f(x)) > af(x) > a^2x이며, 이에 따라 다시 f(x) > a^2/2*x이다. C = a^2/2라 두자.
    f가 연속이므로 사잇값 정리와 Cx^2의 최댓값이 없다는 점에 의해, 실수 M > f(0)에 대해 항상 f(p) = M인 p>0이 있다. 임의의 M을 고정시키고, 수열 a_n을 다음과 같이 정의하자:
    a_n = p + M/f(M) + 2M/f(2M)+ 4M/f(4M) + … + 2^(n-1)M/f(2^(n-1)M)
    f(x) > Cx^2에서, 위 수열은 1/C*2^(n-1)의 합과의 비교판정에 의해 수렴한다.
    한편, f(a_n) > M* 2^n 이다. f(p) = M에서 f(p+M/f(M)) > f(p) + M/f(M) * f’(p) = f(p) + M/f(M) * f(M) = 2*M이므로 n=1에서 성립하고, n=k에서 성립하면 f(a_(k+1)) = f(a_k+2^kM/f(2^kM)) > f(2^kM + 2^kM/f(2^kM))이고, 위와 같은 과정에 의해 이는 2^(k+1)M보다 크기 때문이다.

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  • paracompact · 1069866 · 02/07 00:09 · MS 2021

    좀 돌아서 푼 것 같긴 한데, 보이는 것보다 어렵네요
    사실 저 아이디어 한번쯤 써보고 싶었음

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  • bdfh · 1232233 · 02/07 03:23 · MS 2023

    출처 및 풀이입니당

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  • paracompact · 1069866 · 02/07 03:24 · MS 2021

    ㅇㅎ IMO 2번이군요
    어려울 만 하네

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  • 어피니티 · 1339220 · 02/07 19:44 · MS 2024

    이거 imo 아니에요

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  • paracompact · 1069866 · 02/07 00:19 · MS 2021

    첫문단 막줄 a^2/2 * x^2에요

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  • bdfh · 1232233 · 02/07 02:59 · MS 2023

    첫줄부터 이해가 살짝 안되는데 f가 연속함수인데 an이 수렴하고 f(an)이 발산할 수 있나요..?

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  • paracompact · 1069866 · 02/07 03:00 · MS 2021

    안되니까 귀류법으로 모순이라는 뜻이었어요

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  • paracompact · 1069866 · 02/07 03:05 · MS 2021
    회원에 의해 삭제된 댓글입니다.
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  • paracompact · 1069866 · 02/07 03:11 · MS 2021 (수정됨)

    이제 보니까 막줄을 너무 대충 적었네요
    오타도 있고
    f(a_(k+1))
    = f(a_k+2^kM/f(2^kM)) (a_n의 정의)
    > f(a_k) + 2^kM/f(2^kM) * f'(a_k) (f‘이 증가)
    = f(a_k) + 2^kM/f(2^kM) * f(f(a_k)) (f에 대한 방정식)
    > f(a_k) + 2^kM/f(2^kM) * f(2^kM) (귀납법 조건 f(a_k) > 2^kM + f는 증가)
    = f(a_k) + 2^kM
    >2*2^kM = M * 2^(k+1) (귀납법 조건)

    2^kM은 그냥 M*2^k 쓰기 귀찮았던 거에요

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  • bdfh · 1232233 · 02/07 03:17 · MS 2023

    이해되었습니다! 저 수열의 일반항을 잡는 발상이 되게 천재적인 발상이네요..!

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  • paracompact · 1069866 · 02/07 03:19 · MS 2021

    혹시 문제 출처가 어딘가요?
    원래 풀이가 궁금해서

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  • asdf3971 · 1360204 · 02/07 00:37 · MS 2024

    lim x->-inf f(f(x)) > 0 이지만 lim x->-inf f'(x) = 0 이므로 모순?

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  • bdfh · 1232233 · 02/07 03:00 · MS 2023

    좀 더 자세한 풀이가 있어야 할 듯 합니다ㅠ

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  • asdf3971 · 1360204 · 02/07 03:43 · MS 2024 (수정됨)

    해당 조건이 참이라고 가정했을 때
    모.실.x에 대해 f'>0로 f가 순증가함수, 이때 f>0이므로 lim x->-inf f(x)=C (C는 0이상 실수)인데, f(0)>0이기 때문에 lim x->-inf f(f(x))는 C값에 상관없이 무조건 양수, 하지만 수렴을 위해 lim x->-inf f'(x)=0이기 때문에 식이 성립하지 않는다
    라고 봤습니다

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