이차함수 공통접선 뒷북과 확장
오랜만에 오르비 들어와서 눈팅이나 좀 하다가
수학 질문글을 발견했습니다.
질문은 아래와 같습니다.
(원본링크는 댓글에 있어요.)
아래 그림과 같이 교점이 없고 최고차 부호 다른 두 이차함수에 대해 반드시 두 개의 공통접선이 존재하냐는 겁니다.
여러분은 어떻게 생각하시나요?
다른 좋은 방법도 많겠다만...
질문을 보자마자 제가 떠올린 건 차이함수입니다.
저 그림은 사실,
이거랑 똑같은 그림이에요.
"이거"가 뭐냐면 축이 일치되어 있고 부호는 다른 이차함수입니다.
이 경우에는 당연히 접선 두 개 날릴 수 있겠죠.
그림이 선대칭이므로 한쪽에 그을 수 있다면
그 반대편에도 똑같이 그을 수 있으니까요.
두 접선은 기울기의 절댓값도 같을 겁니다.
그럼 요지는 이겁니다.
왜 질문자의 그림이 위 그림으로 바뀔 수 있는 것일까요?
어... 답은 되게 간단한데요,
그냥 그림의 모든 함수에다가 적절한 일차함수를 빼줘서
축을 움직여가지고 반드시 일치시킬 수 있기 때문입니다.
근데 그림의 모든 함수에 적절한 일차함수를 뺀다는 게 도대체 무슨 말일까요?
아래 평가원 기출 문제를 보겠습니다.
일단 문제상황을 그려보면 다음과 같습니다.
근데 여기 보이는 모든 함수에다가 y=ax를 뺄거에요.
이때 중요한 점은, 교점의 x좌표들이 모두 유지된다는 것입니다.
왜일까요?
방정식의 관점에서 보면 그 답을 쉽게 찾을 수 있습니다.
방정식 f(x)=ax+b의 해를 구하나,
방정식 f(x)-ax= b의 해를 구하나
당연히 똑같은 해가 나올 겁니다.
두 접선이 만나는 점의 x좌표, 즉 k는 왜 유지되는지도 볼까요?
왼쪽 빨간색 접선 식을 mx+n, 오른쪽 접선 식을 px+q라 할게요.
그러면...
위를 계산하나 아래를 계산하나 해는 똑같겠죠.
그래서 전체 그림에 동일한 함수를 빼도 x좌표는 유지가 되는 겁니다.
그래서 한 번 빼볼게요.
그럼 이렇게 나올 겁니다.
사차함수가 선대칭이므로 k는 아무 계산 없이 1/2이라는 걸 알 수 있어요.
전체 그림에 함수를 "빼는" 것만 가능한가요?
아니요!
전체 그림에 함수를 나눌 수도 있습니다.
이미 여러분들이 아주 많이 쓰고 있는 스킬이에요.
궁금한 분들은 아래 링크를 타고 들어가시면 됩니다.
아 가기 전에 좋아요는 누르고 가주세요!!!
도움이 됐다면요.
#무민
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
나는 인강 들을 일 있으면 인현강 차이 별로 없는 강사로 고르는디
-
위로 엄청 잘해줌
-
써킷이나 브릿지 같은거 다들 몇 분 잡고 푸세요?
-
아가취침 2
내일 6시40분 기상 고고혓
-
노베 기적일지 D-63 “단 1프로의 가능성 그것이 나의 길“ - 나폴레옹 오늘...
-
강x 괜찮나요? 괜찮으면 시즌 몇부터 풀어야할까요
-
이제가봄 1
뭔 글젠의 절반이 나네
-
제가 지금 유전 부분이 철철로직+모든기출만 한 상태인데 수능때 1등급 받고 싶은데...
-
국어1영어1생명3지구2 ㄱㅂㅈㄱ 탐구 열심히해보니까 확실히 생명보단지구랑...
-
기억도안나 진짜 5년은 넘었나
-
푸르른 날의 눈부신 밤 향기에 빠져서 아리따운 너의 맘과 영원을 보고 싶어 이 풍경...
-
진짜 할거없는데 13
물2 칼럼쓸까
-
걍 적당히 대학가는게 나처럼 수능에 갇혀있지 말고
-
방구석에 틀어박혀 좋아하는 음악을 듣고 좋아하는 맥주를 마시고 좋아하는 영화를 보며...
-
가채점 3합6 가능에서 실채점 2합4 불가로 바뀌던데 내눈을믿지못했음
-
미디어커뮤니케이션학과 무슨 형이었나요?
-
좋은 사람 꼭 만날 거라 했는데~ 그 약속 지키지 못할거 같아~ 0
내겐 그대가 하나뿐이라 다른 사랑 못할 것 같아요~
-
연고대 논술 둘다 비슷한과로 씀
-
본인은 1학기때 학교 동아리까지 들어갔다 반수하는 좀 특이한 케이스긴 한데 암튼...
-
달리기한번해볼까 버스타기원툴탑솔러의마스터등반기
-
2026 현강..열리게 된다면 다니고싶은데 보통 첫 현강이 언제쯤...
-
시발점 들었음 걍 뉴런이 맞나요
-
연논 접수 완료 2
연대 천문 논술로 가고 싶다
-
지금 충청쪽 의대 지원인원이 600명 정도이고 아주 보수적으로 최저를 50퍼나...
-
공부하거나 딴짓하다가 갑자기 방귀가 4연속 5연속 나올 떄가 있는데 뿡뿡뿡 뀌다...
-
연애고 나발이고 4
애초에 누가 나 좋아할거라는 생각이 잘 안듬
-
생갇보다 안 높네 75는 될 줄
-
아
-
60일밖에 안남았지만 할게 너무 많네 그냥 다 때려치고 실모만 풀까?
-
피규어 좋아하시는 분들 10
속는셈 치고 넨도돌 하나 사보셈요 ㄹㅇ 귀여움
-
제가 김승리 아수라 패스 필통에 홀려서 선착순 교재패스 이벤트로 사버렸는데 혹시...
-
암튼 그럼ㅇㅇ
-
재수생이고 6모 89 9모 92입니다 지금까지 푼 건 킬캠시즌1, 이해원s2,...
-
가면 좋겠다 3번째 이륙 이번에는 100개 찍어보고 싶긴하다..
-
여태까지 유기한거 반성하고 n제 열심히 푸는중..6은 3이였고 9는 4였는데 2까지...
-
물화 중 1택은 해야한다고 생각해요
-
진짜 장사 잘한다
-
N>=4 틀니딱딱단이면 게추.
-
도와줘요 물2황형누나들 10
ㄴㄷ선지 어떻게 처리하나요..? 해설로도 이해가 안 돼 여쭤봅니다
-
고2 국어공부안한 나도 다맞췄는데 이제보니 5번7번 정답률 50%대네요 이해가안됨;...
-
이미 100개넘긴거같기도?하고 ㅋㅋ 뭐랄까 그냥 내인생임수학은
-
흐흐
-
부자 되는 방법 6
5만원 지폐 복사기에 넣고 무한복사하기
-
이거 개어렵지않나요 69 1인데 지금 123회 전부 72 76이렇게뜸ㅋㅋㅋㅋ 계산도...
-
하루에 3시간씩하고 있는데 가능하다고 보시나요?.....
-
웹툰 추천 17
청춘블라썸 후속작 청춘 러브썸
-
왜 생각해보니까 못 본 것 같지..?
-
고2이고 9모가 국영수 331인데 목표는 정시현역서울대인문이에요. (수시 챙기고...
-
시 제목 봄비 내용은 명시적인 계절적 배경 X 상상은 설명없이 시 배경이 봄이니...
-
사교육 멸망기원 2
1일차
질문자 원본 글입니다.
https://orbi.kr/00068687892
정시의벽이 쏘아올린 공
ㄷㄷ닉언
캬ㅑㅑㅑ무민 님ㄷㄷㄷ