근의 분리 상위호환

과외준비를 하다가 이번 6모 15번과 작년 9모 13에가 어떤 관점이 동일하게 쓰인다는 것을 알았는데요,

특히 9모 13번을 이렇게 푸는 것은 처음 봤다고 하네요.

앞으로 근의분리는 쓰지 마세요. 오늘 알려드리는 이 방식이 근의 분리를 거의 완전히 대체할 수 있습니다

(글 맨 마지막에 조건 달아뒀습니다.)

사실 저는 그렇게 특이한 접근인지는 모르겠습니다. 수학(상)을 열심히 공부했다면 이게 가장 자연스러운 접근이죠. 아무튼 과외생을 보며 이걸 여러분께도 소개해드리면 나름 의미가 있겠다고 판단되어 글로 쓰게 되었습니다.  

일단 이번 6모(2025학년도)입니다.  문제를 다 풀진 않을거고, 맨 마지막 부분만 볼게요. (나) 조건을 통해 k=2인 것까지 구한 상황입니다. 

k=2니까 g(x)가 미분가능하려면 f(2)=2, f'(2)=2여야 합니다. 최고차항 계수가 1인것도 아니까, 문자 하나만 가지고 식을 세울 수 있습니다.

이렇게 말이죠. 

(가) 조건에 의하면, 얘가 x가 2보다 큰 곳에서 항상 증가해야 합니다. 그럼 당연히 도함수 관찰을 해야겠죠.

아, 센스 있게 2만큼 왼쪽으로 평행이동해서 봐도 되는데(저도 풀 때 그렇게 했구요) 헷갈리는 독자도 있을 수 있기에 여기선 그대로 갈게요. 괜히 과정 추가하지 않겠습니다. 

아무튼 미분해보겠습니다. 

냅다 판별식 쓰면 안 된다는 것은 알고 계실겁니다.

함수가 x축과 두 번 만나지만 x가 2보다 클 때는 x축보다 위에 있을수도 있으니까요.

난 그냥 그렇게 해서 맞았는데? 하시는 분들은 운이 좋으신 겁니다. 이 문제에선 결국 그게 답이긴 하더라구요 ㅋㅋ

여기서 a 범위를 나눠서 푸는 분들도 있습니다.

그건 올바른 풀이지만, 완전히 상위호환인 다른 풀이가 있어요. 그걸 지금 알려드리겠습니다. 

일단 부등식에서 모르는 문자가 있는 부분을 넘겨버립니다. 그 뒤에 기하적인 의미를 부여할겁니다.

왼쪽은 완벽하게 그릴 수 있는 이차함수고, 오른쪽은 (2,0)을 지나면서 a에 따라 기울기가 달라지는 직선이죠. 

이때 “직선이 항상 이차함수보다 아래에 있어야 한다” 라고 해석해주시면 됩니다.

그럼 기울기가 점점 가파라지다가 딱 접하는 순간까지 가능하겠죠? 그때보다 기울기가 더 커지면 직선이 더 위에 있는 순간이 생깁니다.

반면 기울기가 음수라면 음의 무한대까지 계속 가능할 겁니다. 

x가 2보다 큰 곳에서는 여전히 아래에 있기 때문이죠. 

그럼 접하는 순간 계산해볼게요.

a는 플마 루트 6인데, 둘 중에서 우리가 원하는 순간은 -루트 6일겁니다. 그래야 빨간 직선의 기울기가 양수가 되기 때문이죠. 

a의 범위는 -루트6보다 크다가 되겠네요. 

2024년 9평 13번에도 이걸 적용해볼게요.

저도 이렇게 빨리 풀릴 줄 몰랐는데, 아주 빨리 풀 수 있습니다. 

얘도 당연히 도함수를 관찰해야겠죠.

연두색 영역에 도함수가 그려져야 합니다. 파란색 함수처럼요. 

반드시 (-1,0)을 지나야 하겠네요.

왼쪽 함수에 대입해봅니다. 

b=2a-1이 나오겠네요. 

도함수의 오른쪽부터 관찰해보겠습니다.  아까 했던 거 똑같이 할게요.

a범위 구했습니다. 

왼쪽에서 새로 추가되는 조건은 없습니다. 이미 이 조건만으로도 왼쪽 구간 함수는 

y절편이 양수고 

(-1,0)을 지나므로

아까 말한 연두 구간에 그려집니다. 

우리가 구해야 하는건 a+b의 최대최소 즉, 3a-1 의 최대최소값입니다. a 범위를 아니까 다 구한 셈이네요.

네 여기까지입니다.

부등식으로 인식한 뒤에 약간의 변형을 가해주어서 기하적으로 관찰하는 방법을 알려드렸습니다.

문자범위 나눠서 하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 확률이 적은 풀이라 생각합니다.

한 마디 덧붙이자면, a로 묶인 부분이 기하적으로 깔끔하게 해석이 가능할 때 이 방식을 쓸 수 있습니다. 

그럼 언제 깔끔한 해석이 불가할까요?

a의 계수가 이차도 있고.. 일차도 있고 이런 식으로 여러 개가 있다면 기하적 의미를 부여하기 힘들 겁니다.

즉 문자 계수가 하나로 한정된 상황에서는 

이 방식이 근의 분리를 완전히 대체한다고 말할 수 있겠네요. 

다음에 또 좋은 글로 찾아뵙겠습니다. 감사합니다.