나머지 정리, 인수 정리
다항식 f(x), g(x), h(x), i(x)가 있습니다.
f(x)를 g(x)로 나누었을 때 몫이 h(x)이고 나머지가 i(x)이면
위가 성립합니다. 이때 (한글 표현 헷갈려서 영어로 작성하면)
f(x)를 the dividend
g(x)를 the divisor
h(x)를 a quotient
i(x)를 a remainder
이라고 합니다. 참고로 저 deg는 degree에서 온 표현으로
괄호 안 다항식의 차수를 뜻합니다.
즉, 나머지에 해당하는 i(x)의 차수는
divisor에 해당하는 g(x)의 차수보다 항상 낮다는 것이죠!
혹은 i(x)=0이거나요 (별 의미 없어 보이지만 생각보다 의미 있음,
참고로 1, 2, 3과 같은 상수는 0차식이지만 0은 차수가 존재하지 않음)
예를 들어 삼차식 x^3-2x^2-5x+3을 일차식 x+2으로 나누면
나머지에 해당하는 R(x)는 상수항이 됩니다.
같은 삼차식을 이차식 x^2+3x+2로 나누면
나머지에 해당하는 R_2(x)는 일차식 혹은 상수항이 됩니다.
f(x)를 g(x)로 나누는 상황 중 나머지에 해당하는 i(x)가 0인 경우가 있는데
이때 "다항식 f(x)는 다항식 g(x)로 나누어 떨어진다"라고 이야기 합니다.
쉽게 말해
f(x)를 g(x)로 나누어 h(x)가 몫이고 i(x)가 나머지일 때
다항식 f(x)-i(x)는 항상 g(x)로 나누어 떨어지겠죠!
이제 예제를 하나 풀어봅시다,
다항식 (P(x))^2이 x^2-x+1로 나누어 떨어질 때
다항식 P(x)를 x^2-x+1로 나눈 나머지를 구하는 문제입니다.
출처는 쎈 고등 수학(상) 1판6쇄 I-02 C단계 243번입니다.
일단 (P(x))^2를 x^2-x+1로 나눈 상황과
P(x)를 x^2-x+1로 나눈 상황을 조건에 주었으니
나머지 정리에 따라 식을 작성해봤습니다.
해볼 수 있는 것이 없으니 후자의 양변을 제곱해
전자의 좌변을 얻고자 해보았고
식을 정리해보니 다음과 같았습니다.
이때 R(x)=0 or R(x)=px+q (p, q는 상수) 입니다.
왜냐하면 the divisor가 2차식이었기 때문에
a remainder는 1차 이하의 다항식 혹은 0이기 때문입니다.
그런데 R(x)=px+q이면
가 됩니다. (P(x))^2가 x^2-x+1로 나누어 떨어지므로
(px+q)^2도 x^2-x+1로 나누어 떨어져야 합니다.
다시 말해 x^2-x+1를 인수로 가져야 합니다.
그렇지 않으면 나머지가 발생하게 됩니다.
그런데 p가 0이 아닐 때 (px+q)^2는 이차식입니다.
p=0이면 좌변이 q^2이 되어 우변에서 Q_4(x)=0이어야
상황이 성립합니다. 따라서 Q_4(x)가 상수여야
양변의 차수가 일치하게 됩니다.
그런데 k(x^2-x+1)는 완전제곱식이 될 수 없습니다.
판별식 적용해보시면 D<0이므로 이차함수의 그래프가
x축에 닿지 않는 상황이기 때문입니다.
따라서 모순이 발생합니다, 좌변의 (px+q)^2는
x=-q/p일 때 0이 되기 때문입니다.
따라서 p가 0이 아니라는 가정은 잘못 되었고
p=0이므로 그에 따라 q^2=0, q=0이 됩니다.
따라서 정답은 0이 됩니다.
p.s. 조립제법 여태 조립제+법으로 알고 있었는데
조립+제법이 맞고 Synthetic division으로 불리는 것이었던 ㅋㅋㅋㅜ
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선추후감막줄은 저도 몰랐네요 ㅋㅋ
진지하게 조립제라는 중국의 수학자가 만든 방법인 줄 알았는데 찾아보니 재밌자고 하는 이야기였고... 조립제법, 종합제법, synthetic division 등으로 불리며 Paolo Ruffini라는 수학자가 만들었다고 하네요
+ 1. 곱셈공식, 인수분해공식은 결국 한 등식을 어떠한 방향으로 해석하느냐의 차이입니다. 등식을 배우게 되면 한 쪽에서 다른 한 쪽으로 넘어가는 것을 쌍방향 모두 원활하도록 익혀두시면 좋겠습니다.
2. 나머지 정리, 인수 정리는 결국 본질적으로 하나입니다. 본문의 f(x)=g(x)h(x)+i(x)가 나머지 정리 항등식이고 f(x)-i(x)=g(x)h(x) 꼴이 인수 정리 항등식이라 생각해두시면 좋겠습니다.
3. 수학(상), 수학(하)를 고등학교 1학년 내신 대비 목적으로 공부하는 경우 빠른 문제 풀이를 위한 다양한 접근법을 익히게 됩니다. 그런데 그런 것들 단순 암기하면 재미도 없고 수학적 사고력 향상에도 별 도움 되지 않는다 느꼈습니다. 따라서 문제 하나 하나 처음 풀 때에는 5분 이상씩 고민해보시며 어떠한 접근법이 도움이 될지 홀로 고민해보시기 바랍니다. 처음에는 문제 푸는 데에 오래 걸려 재미 없겠지만 그렇게 홀로 고민하는 능력을 길러가면 결국 대학수학능력시험을 대비하는 시기가 왔을 때는 물론 인생을 살아가며 문제 상황을 접했을 때 더욱 강력한 힘으로 대응하실 수 있을 거예요!
+ 고등학교 1학년 때는 쎈 C단계에 있을 법한 문항들 공부하면 고민해도 고민해도 어떻게 접근해야할지 모르겠어서 그냥 답지 보며 "이걸 어떻게 떠올리나..." 하고 넘겼었는데
고등학교 2, 3학년을 거쳐 수능에서 100점 받고 돌아와 다시 살펴보니 충분히 어려운 문항들이었다는 생각이 드네요 ㅋㅋㅋㅋ 수능 공부할 때 같은 문제 몇 시간 동안, 며칠 내내 고민하며 풀어가던 경험이 쌓여 이제서야 5년 전의 제게 도움을 주는 듯합니다.
영다항식 차수를 정의안했었나
-inf로 정의하기도 했던거같은데
저도 어디서 음의 무한대로 정의한다 봤던 것 같은데 구글 검색해보니 no degree로 나오길래 우선 차수 정의하지 않는다 작성했습니다
조립제법 특) 사람이름아님 ㅋㅋ
Paolo Ruffini 법 ㅠㅠ