241128(미) 수식 풀이

일단 "모든 양수 t에 대하여 x에 대한 방정식 f(x)=t의 

서로 다른 실근의 개수는 2"라는 정보와 "모든 실수 x에 대하여

f(x)>=0"이라는 정보, 그리고 "실수 전체의 집합에서 연속인

함수 f(x)"라는 정보와 x<0에서 주어진 f(x)식으로부터 

다음과 같은 상황을 떠올릴 수 있어야 한다.

대충 f(x)의 그래프가 x<0에서는 감소하고 구간 [0, p]에서는 (p>0)

상수함수의 그래프를 보이다가 x>p에서는 증가하는 상황

2015개정교육과정 상 정적분은 닫힌 구간에서

연속인 함수에 대해 논하므로

다음의 두 함수를 정의해주자.

그러면 함수 g(t), h(t)가 정의된 방식에 따라

다음의 두 항등식을 얻을 수 있다.

이를 이용해 닫힌 구간 [p, 7]에서의 적분에

치환을 섞어보자! (치환적분법, 역함수를 이용한 치환)

부분적분법은 두 함수가 곱해진 꼴의 함수를 적분할 때

하나를 미분, 하나를 적분한 새로운 함수를 적분하는 상황으로

적분 상황을 바꾸어주는 방법이다.

x>0에서의 f(x) 식을 아직 알 수 없기 때문에 

f(7)값을 직접 구할 수는 없다.

하지만 주어진 관계식 2g(t)+h(t)=k (t>0) 을

활용해보면

x=7과 x=(k-7)/2에서의 함수 f의 함숫값이 일치함을

확인할 수 있으므로 x<0에서의 f(x) 식을 이용하여

f(7)값을 구할 수 있음을 알 수 있다.

이제 주어진 관계식을 이용해주면

구간 [0, f(7)]에서의 함수 p(t)의 적분값만 구해주면

주어진 조건식의 좌변을 정리할 수 있다.

구간을 표기할 때 [-3, 0]처럼 해야지 [0, -3]은 안된다고

알고 있긴 한데 편의상 이 정도는 넘어가자

중간에 d(4x^2)=8xdx는 그냥 내가 쓰는 표현인데

대충 미분(differentiation) 말고 미분(differential)에 관한 

생각을 이어와 dy=f'(x)dx 표기를 살려

치환적분법 적용할 때 표기를 단순화하는 방법이다.

어디서 배운 건 아니고 치환적분 문제 풀다가 만들었는데

떠올리기 어려운 것은 아니라 사용하는 다른 분들께서 계실 수도!

이제 조건식의 우변에 위치한 정보를 살리면

k값 후보가 2개 나오는데 아까

h(t)=7일 때 g(t)=(k-7)/2이었고 g(t)<0이므로

k-7<0이다. 따라서 k=5로 확정된다.

답은 2번이다.

+ 아니면 2g(t)+h(t)=k (t>0)로 x>0에서의 

f(x) 식을 직접 구할 수도 있는데

2g(t)+h(t)=k 와 f(g(t))=f(h(t))=t 적용하면

각 구간 별 식을 논리적으로 작성해낼 수 있다.

직관적인 상황 파악을 위해 h(t)>0로 표기했지만

f(g(t))=t 에서 g(t)<0이므로 2g(t)+h(t)=k,

h(t)=k-2g(t)에서 h(t)>k임을 바로 확인할 수 있다.

k=5 대입하면 함수 f(x)의 그래프는 다음과 같다.

그럼 바로 f(9)=2x(9-5)xe^(9-5)^2, 

f(8)=2x(8-5)xe^(8-5)^2 구해 답 낼 수 있다.

++ 이상입니다, 다만 저는 개인적으로

이것을 대략적으로 생각해내서 t값이 조금 증가할 때 

x<0에서 주어진 f(x) 식에 따라 g(t)의 변화를 생각하며

h(t)의 변화를 따라가보는, 그렇게 하여

x>0에서의 f(x) 식을 추론해보는 사고 과정이

현재로서 가장 현장에서 시도해볼 만한 사고 과정이라고

생각하고 있습니다.

읽어주셔서 감사드립니다!