미적분 OX퀴즈
1. 기함수의 역도함수는 우함수이다.
2. 우함수의 역도함수는 기함수이다.
3. |f(x)|가 적분가능하면 f(x)도 적분가능하다.
4. 함수 f가 구간 (a, b)에서 단조증가하면 그 구간에서 f'(x) > 0이다.
5. 미분가능한 함수 f에 대하여 f'(c) > 0이면 c를 포함하는 어떤 구간 (a, b)에서 f는 증가함수이다.
6. 일대일대응 함수 f가 x = a에서 연속이면 그 역함수도 x = f(a)에서 연속이다.
7. 미분가능한 일대일대응 함수의 역함수도 미분가능하다.
8. 실수 전체에서 적분가능한 함수 f에 대하여 f를 0부터 x까지 정적분한 값을 다시 x로 미분하면 f(x)를 얻는다.
9. 연속함수 f의 극점 x = a에 대하여 f'(a) = 0이다.
답 : XXX XXX XXX
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6번 8번은 왜 x인가요? 그리고 적분가능 조건도 있나요?
6번 반례입니다.
8번은 상수함수인데 한 점만 위로 올라와있는 점프 불연속을 부여한게 반례입니다. 구간에서 연속 조건이 있어야돼요.
불연속점이 유한하면 항상 적분가능하고, 불연속점이 무한히 많더라도 적분이 가능한 경우가 있고 불가능한 경우가 있습니다. 정확히는 불연속점을 셀 수 있으면 가능하고, 셀 수 없으면 불가능합니다.
(여기서 말하는 적분은 리만 적분입니다. 리만 적분이 불가능하지만 르벡 적분은 가능한 경우가 있습니다.)
적분가능 조건이 있었군요. 3번은 절댓값때문에 안된다는게 직감적으로 왔는데(구간별 함수 그래프가 부호가 바뀐다던가) 8번부터는 엥 싶더라고요. 잘 배우고갑니다ㅎ
무리수일 때 1, 유리수일 때 -1인 함수가 반례입니다.
가령, 모든 유리수에서 불연속인 함수는 적분가능하지만 모든 무리수에서 불연속인 함수는 적분불가능합니다. 유리수는 셀 수 있죠.
역도함수는 역함수의 도함수인가요?
단조증가는 무엇인가요..
혀녀기라 용어를 모르겠어요
부정적분은 미분했을 때 원함수가 나오는 '함수들의 집합'이고, 그중 특정한 하나가 역도함수입니다. 도함수에 역(逆)이 붙은거에요.
순서를 보존하는 함수를 단조 함수라고 합니다.
주어진 구간의 임의의 두 원소 a, b에 대하여 a <= b일 때마다 f(a) <= f(b)이면 f를 증가함수라고 하고, f는 단조 증가한다고 합니다.
강한 (단조) 증가라고 하면 등호가 빠져서 f(a) < f(b)가 됩니다.
1번부터 막히는데 기함수 부정적분중에 우함수가 아닌 케이스도 있나요,,?
적분상수 붙여도 성립하고 못 떠올리겠어요..
1/x을 적분할 때 x = 0을 기준으로 적분상수가 같을 필요가 없죠. F(x) = ln(x) (x>0), ln(-x) + 17 (x<0)이 반례겠네요.
헐 신기하네요 생각치도 못했어요
4번은 그 구간에서 함수가 strictly monotonic 일때만 성립하는거 맞나요?
네.
6번은 신기하네요
당연히 연속성 보장될줄 알았는데 저런 반례가 있다니 ㅋㅋㅋ