함수 f가 x=a에서 극값을 가지면 (ft. Fermat's theorem)
우리 보통 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값 지닌다고 하면 f'(x) 구해서 x=a에서의 부호 변동 조건 이용하죠?
그런데 극값을 처음 공부할 때 우리는 이것의 정의가 미분가능성과 무관함을 알 수 있습니다.
왜냐하면 극대의 정의는 다음과 같고
극소의 정의는 다음과 같기 때문입니다.
우리는 f(x)가 x=a에서 미분가능하지 않을 때를 포함하여 보다 간편한 정리를 공부할 수 있습니다.
<Fermat's theorem>
함수 f(x)가 x=a에서 극값을 지닌다면 i) 을 만족하거나 ii)를 만족한다.
i) f'(a)=0
ii) f'(a) 존재 x
이때 f'(a)가 존재하지 않는다는 것은
이 극한이 존재하지 않는다는 것이고
어떤 극한이 존재하지 않는다, 즉 수렴하지 않는다는 것은
1) 우극한이 발산
2) 좌극한이 발산
3) 우극한과 좌극한이 수렴하나, 두 극한의 수렴값이 불일치
셋 중 하나에 해당한다는 뜻이죠. 우리가 일반적으로 떠올릴 수 있는 상황은
[2023학년도 6월 4번]의 함수 f(x)에서 x=0, x=1, x=2 같을 때나
y=ㅣxㅣ의 x=0 같을 때일 것입니다.
물론 이때 극값이 존재하면 미분계수가 0이거나 존재하지 않는다는 것이지,
미분계수가 0이거나 존재하지 않으면 극값을 지닌다는 것은 아닙니다.
보통 어떤 참인 명제의 역은 성립하지 않습니다.
아래는 Fermat's theorem 관련 위키백과 내용입니다, 증명을 포함하고 있는 듯하네요!
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