부분적분에서 적분 상수
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※문돌입니다
심심해서 갓공돌님께 적통책 빌려보는데 부분적분이란게 있더라구요
문돌이의 꽉막힌 수학사고로 볼때 정적분을 풀어쓰는데 적분상수 C를 고려하지 않는것이 이해가 안됩니다 이해시켜주세요 ㅜㅜ
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함수 f(x)의 부정적분 가운데 하나가 F(x)일 때
함수 f(x)의 임의의 부정적분은 F(x)+C이고
∫ f(x) dx = F(x)+C라고 씁니다.
따라서 ∫ f(x) dx 자체가 함수 f(x)의 임의의 부정적분이고
적분상수 C를 포함한 형태라고 할 수 있죠.
본문에 쓰신 부분적분 공식에서는 양변에 있는 ∫ 각각에
적분상수 C₁, C₂가 포함되어 있다고 보면 되는 겁니다.
또한 부분적분 공식은 함수의 곱의 미분법으로부터
다음과 같이 유도됩니다.
{ f(x)g(x) } ' = f '(x)g(x) + f(x)g '(x)
양변을 x에 대해 적분하면
좌변에는 { f(x)g(x) } '의 임의의 부정적분 f(x)g(x)+C가
우변에는 f '(x)g(x) + f(x)g '(x) 의 임의의 부정적분
∫ { f '(x)g(x) + f(x)g '(x) } dx가 옵니다.
f(x)g(x) + C = ∫ { f '(x)g(x) + f(x)g '(x) } dx
f(x)g(x) + C = ∫ f '(x)g(x) dx + ∫ f(x)g '(x) dx ………①
∫ f '(x)g(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f(x)g '(x) dx ………②
여기서 ①은 우변에만 ∫이 있기 때문에 좌변에 적분상수 C를 붙여야
성립하게 됩니다. 그리고 ∫ 하나를 넘겨서 ②와 같이 만들면
양변에 ∫이 있기 때문에 다시 C가 필요없게 되죠.
감사합니다! 완벽하게 이해됐어요.
부분적분을 통해 계산하고난 최종결과에선 C를 붙여줘야 합니다.