칼럼) 수학 실력 자체를 기르는 문제 풀이 방식

 *이전 칼럼들중 하나인 '눈풀물1'을 보고 오신 분들이라면, 이해가 보다 빠르실 겁니다. 

또한, 개념 학습이 온전히 되어있음에도 불구하고, 평소 실력과 점수가 괴리가 있거나,

실력 증진에 정체기가 온 학생들을 위한 글이니, 최소한 3,4등급 이상의 학생들에게

제일 적합할 것으로 여겨집니다. 

 수학이나 과탐이나 머리 깨지게 생각을 해볼 때

사고력이나 논리력이 증진됩니다..!

그 머리 깨지게 생각을 해보는 것을 돕는 장치가 바로 눈풀이고,

머리가 깨지면 깨질수록 우리의 수학 점수는 안정화될 것입니다.

예전에 풀어보았던 사관학교 기출과 함께 (그냥 기출이면 여러분들이 심심하니까)

어떻게 문제를 풀어야 안정적이고, 실력을 늘릴 수 있는지 봐보도록 하죠.

구체적으로 문제를 실제로 풀거고, 그 후 일반적인 얘기를 나눠보겠습니다.

우선 문제와 풀이 사진 첨부해놓고 시작합니다..! (문제 간단히라도 읽고 와주세요!)

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1. '조건화'와 '초점화'

 우리는 과연 발문과 문풀에 어떤 비율의 시간을 투자하는가에 대한

성찰로 이 글을 시작합니다. 어느정도 투자하시나요?

보통 20분이 걸리는 킬러문제를 풀 때 20초도 안 보시는 경우가 허다합니다...

하지만 어려운 문제일수록, 자신이 풀지 못하고 있는 문제일수록

발문에서 놓친 조건이 하나 있을 확률이 매우 높습니다.

저같은 경우에 10분 동안 문제를 푼다면 (20분 걸릴 문제가 있나?),

1분 가량은 발문을 여백의 공간에 '조건화'하여 써놓습니다. 

이 조건화란, 

발문의 '미분가능한 함수'라든가, '지름'이라든가

발문에 있지만, 놓치면 크리티컬한 문구를 (가), (나) 조건들과 함께

써놓는거죠. 별거 아닙니다. 사진과 같이 볼까요?

 이렇게요..!

우선 f(x)가 삼차함수라는 것과 그 계수가 1인 것까지 

식과 간단한 개형으로 표현을 해놓았고요.

그리고 문제에서 제시해준 g(x)를 적으며, 미리 해볼 수 있는 생각을 써놨습니다.

여기서는 f(x)/(x-1)을 기울기로 생각해봐야겠다고 쓴 걸 말하는 겁니다..!

 그리고 사진에는 나와있지 않지만, 문제에서 물어보는게 g의 극솟값이므로

결국은 f를 알아야 구할 수 있죠?

우리는 f에 관한 식을 추적해야겠네요! 
-구하고자 하는 것을 통한 '초점화'

 발문에서 최대한 얻을 수 있는 조건을 빼먹지 않고 쓰는 것과,

나중에 갑자기 하기 어려운 생각(기울기로 보기)들을 사전에 해놓는 것.

과연 풀이에 쓸지 안 쓸지는 모르지만, 

풀이 초기에 모든 가능성을 고려하며 문제를 째려보고 있다고 생각하시면 됩니다.

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2. 조건의 '해석'

그 다음으로 정말 문제에서 준 '조건'들을 '해석'하는 시간을 가져야 합니다. 

등식이나 부등식으로 나와있는 조건의 의미를 한글이나 정제된 식으로 

표현하는 작업을 말합니다. 

등식이라면, 특정 함수들의 교점을 말해주는 게 아닌지,

그래프의 개형을 알려주기 위한 조건이 아닌지.

즉, 출제자가 이 조건을 왜 주었는가를 맞춰보는 단계라고 할 수 있습니다. 

우선 (가)조건을 '해석'해봅시다. 

g(x)가 연속이라는 것은 구간별 함수인 g(x)가 구간의 경계에서 함숫값이 같다는 것.

즉, x=0,2에서 g가 연속이라는 것을 통해 f의 함숫값을 알아내라는 것이죠.

그걸 이용하면, 'f(0)=0'이라는 것과 'f(2)는 0이 아니라는 것'까지 알 수 있군요.

 주로 ~가 아니라는 조건은 케이스 분류 시에 많이 나옵니다.

한 케이스에서 ~가 맞다고 나오면, 그 케이스를 제거하라는 의미이기 때문이죠.

 (나)조건도 마찬가지로 해보죠. 주어진 구간 내에서는 어차피 g(x)가 미분 가능하군요.

따라서 미분 가능하지 않은 점은 구간의 경계일거고, 0과 2중 하나네요..!

그럼 a=0일 때와 a=2일 때로 나눠야겠네요.

엥 나눠? ---> 케이스 분류; 아까 ~가 아니라는 조건보고 예측했던 내용인데..?

 이렇게 문제를 많이 풀어봤고, 문제에서 얻은 교훈이 유형화되어 있다면,

아주 단순해보이는 어투만으로도 문제가 어떤 방향으로 진행될 것이라는 것을

예측할 수 있습니다. 

 그래서 a=0일 때 식을 정리하면, 'f(2)=0'이 나오는데

예측대로 (가)의 조건과 충돌하네요!

한편, a=2일 때의 식을 정리하면, 'f'(0)=0'이라는 식이 하나 더 나오게 됩니다. 

 그리고 보시면 알겠지만, '초점화' 단계에서 f를 초점화 

즉, f에 관한 식을 구하고자 했으므로 

f에 대한 식은 모두 박스처리 한 것을 볼 수 있습니다.

내가 정말 답에 필요한 게 뭔지 눈에 띄게 해놓는 거죠.

최대한 실수를 줄이기 위해 아주 발악을 하고 있다고 보시면 됩니다...!

 단순히 g에 관한 식을 f로 고친 겁니다. 왜?

우린 f를 초점화했으니까..!

이런 초점화 과정은 특히 합성함수의 미분 킬러 문제에 가면 더욱 중요하니

눈에 익혀두도록 합시다..!

 f(0)=0, f'(0)=0 두 조건을 합쳐서 f(x)=x^2(x-p)로 구조화했죠? (극솟값 p와 무관...겹쳤네요)

그리고 역시나 k를 g에 대입하려면, 구간별 함수인 g의 특성상

k의 범위를 알아야하므로, 범위를 나눴습니다. 

 어차피 단순 계산이니까요, 계산하면, 위의 경우는 모순이 나와서

밑의 경우에 의해 k=4임을 알 수 있네요..!

 아이고야, f(x)=x^2(x-4)라고 f가 다 나와버렸네요.

이제 초점화의 역할은 끝이 났고, 

다시 원래 진짜 정답인 g로 시야를 넓힙시다. 

 g의 극소를 알기 위해서는 결국 g를 그려야겠네요!

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3. 정답 직전의 '백스텝'

 가장 실수가 많이 등장하는 곳은 정답이 나오기 직전의 순간입니다. 

이때 지금까지 한 것들중 쓰지 않은 조건은 없는지 숨고르는 시간이 중요합니다.

이때 활용하는 것이 '박스'입니다. 

 문제를 풀면서 내가 쳐놓은 '박스'를 보면, 쓴 조건이나 식이 있는지 없는지 

판단이 빠르겠죠? 그래서 조건과 도출되어 나온 식을 '박스'로 명확히 표시하시길 바라요..!

 그리고, g(x)를 그리려고 하니, f(x)/(x-1)이라는 부담스러운 분수로 표현된 함수가

걸리적거리네요... 

이때 프로 '백스텝러'는 문풀의 전반부부터 한 번 찬찬히 관찰하며,

좀 더 쉬운 방법이 없나하고 잠깐 고민하는데, 그때 제 눈에는 '조건화' 때

'f(x)/(x-1)을 기울기로 볼 수 있다'고 써뒀던 것이 들어옵니다.

'아하! 굳이 미분할 필요없이 f(x)를 그리고 (1,0)과 (x,f(x))의 기울기로

g(x)를 해석하면 되겠구나....!' 라는 생각을 하게 되는 것이죠...

 빗금쳐 놓은 게 g(x)의 그림입니다. 

결국 우리는 분수로 표현된 함수를 미분 안하고도 g의 극소가 x=2일 때임을 알게 되는

쾌거(?)를 이루게 됩니다. 

그러면 극솟값은 x=2를 대입한 f(2) 즉, -8이라는 결과를 얻어내고 답은 제곱인 64군요..!

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4. 풀린 문제의 '교훈화'

 지금까지 문제를 풀어온 과정이 과연 나중에도 기억날까요?

워낙 인상 깊은 문제거나 본인이 하루에 1문제만 풀지 않는 이상은

희박할 것입니다.....

 그렇기 때문에 이 문제를 푼 효과를 얻기가 쉽지 않은거에요.

어차피 기억의 저편으로 사라질 문제인걸요...

이때 여러분이 활용하셔야 할것이 바로 '교훈화'입니다. 

문제를 짤막하게 요약해놓고, 앞으로 다른 문제에서 쓰일 여지가 있는 것을

필기해두는거죠.

 이 문제의 경우 저같은 경우에는 '케이스분류'나 '~가 0이 아니다' 같은 것들은

이미 다른 문제에서 교훈화가 되어있고, 이 문제는 그걸 적용한 셈이기에

그런 내용들은 교훈화되지 않고, 맨 마지막에 계산을 좀 더 덜어줬던

'함수를 기울기로 보는 관점'을 교훈화해뒀군요.

 그렇다는 것은 이 문제는 확실하게 제 수학 점수에 기여를 하게 되는 것입니다. 

'혹시나 분수로 표현된 함수에서 기울기로 보게 해준 역할'. 

명확하죠?

문제를 허투로 낭비하지 않게 된 것이라는 말입니다...

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 이렇게 깔끔하게 풀 수 있도록 연습하시길 바랍니다. 

깔끔하게 푼다는 것은 단순히 글씨가 예쁜 것이 아닙니다. 

문제가 어떻게 진행될지 예측하고 실제로 그 예측이

들어맞아야만이 저렇게 깔끔하게 푸는게 가능합니다. 

발문과 조건을 허투루 읽지 않고 

머리깨지게 눈으로 최대한 많이 정보를 뽑아내는 것. 

즉, 문풀 시에 눈풀의 비율이 높아짐에 따라

여러분의 수학 실력도 비례해 올라갈 것이라고

감히 말씀드리겠습니다. 

 사고력 증진을 통해 수학 실력 자체를 기르는 법에 대해

오늘 써보았습니다..! 아마 다음 수학 칼럼의 내용은

시간 단축이 아닐까 싶은데, 

댓글로 추천 내용 남겨주신다면 반영해서 쓰도록 하겠습니다..!