수학 고수님들 학교 수학 경시대회 문제좀..
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a1=a (a>0)이고
an+1(이거 n+1번째 항이에요)=[{n^1/2*(n+1)}/{n^3+n^2+2an^2}^1/2]*an
을 만족하는 수열 an의 일반항을 구하시오
세개의 서로 다른 소수의 세제곱근은 등차수열의 세 항이 될 수 없음을 증명하여라
더 있는데 수식 못쓰겠어서요ㅠ
나중에 사진으로 더 올려야..겠..
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1번문제 : 양변을 제곱후 역수를 취하면 1 / A(n+1)^2 = ( n^2 * (n+1) + 2 * A(n)^2 ) / ( n * (n+1)^2 * A(n)^2 )
약분하면 1 / A(n+1)^2 = ( n / (n+1) ) * (1 / A(n)^2 ) +( 2 / n(n+1)^2 )
양변에 n+1곱하면 n+1 / A(n+1)^2 = n / A(n)^2 + 2 / n(n+1)
n / A(n)^2 = B(n) 으로 치환하면
B(n+1)=B(n) + 2 /n(n+1) 계차수열을 통해서 B(n)구하고 A(n)구하면 끝.
2번 : a,b,c를 서로 다른 소수라하고 a^1/3 , b^1/3 c^1/3 이 등차수열을 이룬다하면
[2 * b^1/3 = a^1/3 + c^1/3 ]이 성립한다. 양변 세제곱하면
8b= a+c+ 3 (ac)^1/3 * ( a^1/3 + c^1/3 ) = a+c+6(abc)^1/3 ( [ ] 안에 식에 의해서)
8b-a-c=6(abc)^1/3 즉 (abc)^1/3 이 유리수이다.
(abc)^1/3 이 유리수이려면 abc=n^3 이여야한다. ( n은 자연수)
증명은 귀류법을 이용하면됨.
근데 a,b,c는 소수이므로 n^3의 소인수분해결과가 됨. 즉 a=b=c이여야 n^3이 될수있음 하지만
a,b,c는 서로 다르므로 모순
따라서 등차수열 이 될수없다
abc=n^3 이여야하는 이유에대한 증명
(abc)^1/3 이 유리수이면 (abc)^1/3 = m / n ( m, n 서로 서로소인 양수) or n=1
abc=m^3 / n^3 , n^3(abc)=m^3 따라서 m^3은 n으로 나눠져야 하는데 m,n이 서로소 이므로 이건 불가능 따라서 n=1이여야함
즉, abc가 세제곱수라는 말