외국어 1등급 커트라인 97점일 확률

현재 M사이트에서 유력시되는 1등급 커트라인입니다.


아래는 M사이트에서의 통계수치입니다.



표준편차가 수리 나형의 경우 27.74
외국어영역의 경우 24.21이 산출되었습니다.
이로 인해 원점수는 다르지만 표준점수가 같게 나오는 표준점수 증발구간의 발생확률은
수리 나형의 경우 28%, 외국어영역의 경우 17%로 예상됩니다.







어떠한 과목이든지 원점수(가로축)은 0에서 100사이의 값을 가집니다.
하지만 표준점수의 경우 표준점수 산출식인

[(x-m) * (20/편차)] + 100

에 따라 위의 빨간 실선과 같이 그려지게 됩니다.

이 때, 상수 100이 더해지기 때문에, 가로축에서 원점수가 0에 해당되는 경우도 표준점수로는 0점이 아닌
기본점수를 어느 정도 얻고 시작하게 됩니다.
그리고 빨간색 실선의 기울기는 앞의 x-m의 경우 단순한 상수에 불과하므로 20/편차에 비례하여 산정됩니다.

즉, 20/편차가 위 그래프의 기울기가 됩니다.

이 때 만일 기울기가 1보다 크다면, 원점수1점에 해당되는 표준점수의 등가가치는 1점이 넘는 값이 나옵니다.
하지만, 표준점수의 경우 반올림하여 정수로 표기합니다. 이에 따르면, 표준점수를 소수점 첫번째자리까지 산출하여
반올림하여 정수로 표기한 값은, 언젠가는 원점수 1점에 표준점수가 2점이 차이가 나는 구간이 발생하게 됩니다.

이 원리는 단순합니다.

원점수는 0점에서 100점까지 최대 100점차이가 발생할 수 있는데,
만일 20/편차가 1보다 큰 경우, 위의 식에서 x의 범위가 0~100 사이이므로,
원점수의 분포범위에 그 기울기 만큼 곱해진 값의 범위가 표준점수의 분포범위가 되는 것입니다.  


가령, 원점수는 0점부터 100점까지에 분포해있는데
이 때 표준점수가 40점부터 145점까지 분포하여 있을 수 있습니다. 이는 기울기가 1.05인 경우이고
표준편차가 19.04인 경우에 해당됩니다. 한편, 이 때, 원점수는 정수이며, 표준점수 역시 정수입니다.
둘 다 반올림하여 표기되며, 모든 원점수에 표준점수의 값은 대응됩니다. 따라서,




다음과 같이 원점수 1점차이에 표준점수가 2점이 차이나는 구간이 발생할 수 있습니다.

쉽게 생각해본다면,

표준점수의 최소값인 40점은 원점수의 최소값인 0점과 대응될 것이며
표준점수의 최고값인 145점은 원점수의 최고값인 100점과 대응될 것입니다.

만일 표준점수가 원점수 1점에 1점씩 변화를 보인다면,
표준점수 최고점과 표준점수 최소점의 차이인 105점 중 5점은 공중에 붕 떠버릴 것입니다.
따라서, 어딘가 5군데에서는 표준점수가 1점의 차이가 아닌 2점의 차이가 날 수 밖에 없는 것 입니다.

한편, 이는 전체의 평균과 편차에 따른 랜덤으로 발생됩니다. 언제 어디서 발생할지는 모르는 값이기 때문에
복불복이라고 보셔도 되겠습니다.

단 규칙은 있습니다.
가령, 전체에서 5군데가 발생한다고 했을 때,
전체 100점만점에 20점에 1군데 꼴로 발생하게 됩니다. 하지만, 그 안에서는 어디에서 발생할지는 아무도 알 수가 없습니다. 



마찬가지로, 기울기가 1이 되지 않을 경우

원점수의 경우 0점에서 100점까지 100만큼의 차이를 보이지만,
표준점수는 그 최고값과 최소값의 차이가 100이하의 차이를 보이게 됩니다.

이는, 거꾸로 원점수가 변했지만, 표준점수가 변하지 않는 구간이 존재함을 의미합니다. 이것이 바로 표준점수 증발입니다.

가령, 표준점수의 최소값이 60점이고, 최고값이 140점인 경우

표준점수의 차이는 최대 80점입니다.
이 때, 원점수는 변함없이 그 차이가 최대 100점입니다.
따라서, 위의 경우는 20군데에서 원점수에 대해 표준점수가 겹쳤음을 의미하며

이 경우 발생빈도는 5군데에서 1군데 꼴로 원점수가 1점차이나도, 표준점수가 같을 수 있습니다.



한편, 평가원에서 등급을 산정할 때는

원점수에 따라 산정하는 것이 아닌, 표준점수에 따라 등급을 산정합니다.
따라서, 원점수는 다르더라도 표준점수가 같은 경우 이 경우는 원칙적으로 동점에 해당되며
같은 백분위와 같은 등급이 나오게 됩니다.

따라서, 현재 외국어영역의 경우 98점이 1등급컷으로 유력시되고는 있으나, 설령 98점이 1등급이 맞다고 하더라도
17%확률로 97점까지 동점처리되어 1등급이 나올 수 있습니다.

이 때, 98점이 1등급 커트라인일 확률이 A, 97점이 1등급 커트라인일 확률이 B라고 할 때
표준점수의 겹치는 가능성까지 모두 염두한다면,

98점이 1등급 커트라인일 확률은 A
97점이 1등급 커트라인일 확률은 A*0.17+B가 됩니다.

만일 원점수를 기준으로 외국어 1등급 커트라인이 98점일 확률이 60%, 97점이 40%였다면
이를 반영하면, 98점일 확률이 54.44% 97점일 확률이 45.55%가 됩니다.

또한 97점일 확률이 0이라고 하더라도, 14.52%의 확률로 97점에서 1등급 커트라인이 발생할 수 있습니다.
(98점이 100%이고, 97점에 해당되는 표준점수가 반올림되는 확률이 17%라고 할 때, 전체 확률의 합은 117%이 되므로,
97점에서 1등급 커트라인이 끊길 확률은 17/117 = 14.52%가 됩니다)

물론 14%라는 확률은 확률상 높은 확률은 아닙니다.
하지만, 이는 외국어 영역 1컷이 97점일 확률이 0일 때, 반올림에 의한 확률이 14%라는 것을 의미하며
97점에서 끊길 확률이 애초에 0이 아닌 이상, 대략, 외국어영역에서 97점까지 1등급처리가 될 확률은 20~30% 정도의 수준으로
예상됩니다.

따라서, 97점을 맞고, 외국어영역 1등급이 날아갔다고 판단해서 고려대 수시에 응시하지 않거나 혹은 준비를 소홀히 한 학생들은
자칫 성적표가 나왔을 때, 섣불리 포기한 것에 대해 후회할 확률이 20~30%일 것으로 보입니다.








한편, 관건은 언어영역입니다.

언어영역의 경우 편차가 20이 되지 않기 때문에, 표준점수의 값이 어딘가 분명히 원점수 1점에 대해 2점이 차이나는 구간이 발생할 것입니다.
이 구간이 어디가 될 지, 따라서 언어 영역에서 어느 점수대가 그 1점의 수혜자가 될지가 관건입니다.

참고로, 언어영역에서 원점수 1점에 따른 차이가 표준점수 2점에 해당되는 구간에 위치한 경우
이 때 운이 좋게 1점을 추가로 더 먹을 수 있겠고, 한편, 수리영역에서 원점수 4점차이지만, 표준점수의 반올림으로 인해 표준점수로는 3점밖에
감점되지 않은 경우에 해당된다면, 동일한 원점수인 경우에 비해 총 2점의 점수를 더 버는 셈이 됩니다. 

표준점수로 2점 정도의 차이이면, 이번 입시에서 연고대 인~어문과 서성 상위학과의 차이보다도 작을 것으로 봅니다. 
결국 반올림으로 인해 누가 그 점수를 아니, 그 행운을 가져가는지에 따라, 입시에서의 승부가 갈릴 것으로 봅니다.